Что такое числовая последовательность?
Числовая последовательность – функция вида
y = f(x), x О N,
где N– множество натуральных чисел (или функция натурального аргумента),
обозначается y = f(n) или y1, y2,…, yn,…. Значения y1, y2, y3,… называют
соответственно первым, вторым, третьим, … членами последовательности.
Например, для функции y = n2 можно записать:
y1 = 12 = 1;
y2 = 22 = 4;
y3 = 32 = 9;…yn = n2;…
Способы задания последовательностей
Последовательности
можно задавать различными способами, среди которых особенно важны три:
аналитический, описательный и рекуррентный.
1. Последовательность задана аналитически, если задана
формула ее n-го члена:
yn = f(n)
Пример. yn = 2n – 1 – последовательность нечетных чисел: 1,
3, 5, 7, 9, …
2. Описательный способ задания числовой последовательности
состоит в том, что объясняется, из каких элементов строится последовательность.
Пример 1. «Все члены последовательности равны 1». Это
значит, речь идет о стационарной последовательности 1, 1, 1, …, 1, ….
Пример 2. «Последовательность состоит из всех простых чисел
в порядке возрастания». Таким образом, задана последовательность 2, 3, 5, 7,
11, ….
3. Рекуррентный способ задания последовательности состоит в
том, что указывается правило, позволяющее вычислить n-й член
последовательности, если известны ее предыдущие члены. Чаще всего в таких
случаях указывают формулу, позволяющую выразить n-й член последовательности
через предыдущие, и задают 1–2 начальных члена последовательности.
Пример 1. y1 = 3; yn = yn–1 + 4, если n = 2, 3, 4,….
Здесь y1 = 3; y2 = 3 + 4 = 7; y3 = 7 + 4 = 11; ….
Можно видеть, что полученную в этом примере
последовательность может быть задана и аналитически: yn = 4n – 1.
Пример 2. y1 = 1; y2 = 1; yn = yn–2 + yn–1 , если n = 3,
4,….
Здесь: y1 = 1; y2 = 1; y3 = 1 + 1 = 2; y4 = 1 + 2 = 3; y5 =
2 + 3 = 5; y6 = 3 + 5 = 8;
Последовательность, составленную в этом примере, специально
изучают в математике, поскольку она обладает рядом интересных свойств и
приложений. Ее называют последовательностью Фибоначчи – по имени итальянского
математика 13 в. Задать последовательность Фибоначчи рекуррентно очень легко, а
аналитически – очень трудно. n-е число Фибоначчи выражается через его
порядковый номер следующей формулой .
На первый взгляд, формула для n-го числа Фибоначчи кажется
неправдоподобной, так как в формуле, задающей последовательность одних только
натуральных чисел, содержатся квадратные корни, но можно проверить «вручную»
справедливость этой формулы для нескольких первых n.
Свойства числовых последовательностей
Числовая последовательность – частный случай числовой
функции, поэтому ряд свойств функций рассматриваются и для последовательностей.
Определение. Последовательность {yn} называют
возрастающей, если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего:
y1 < y2 < y3 <
… < yn < yn+1 <
….
Определение. Последовательность {yn} называют
убывающей, если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего:
y1 > y2 > y3 >
… > yn > yn+1 >
… .
Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим
термином – монотонные последовательности.
Примеры числовой последовательности
Пример 1. y1 = 1; yn = n2–
возрастающая последовательность.
Пример 2. y1 = 1;
–
убывающая последовательность.
Пример 3. y1 = 1;
–
эта последовательность не является не возрастающей не убывающей.
Определение. Последовательность называется
периодической, если существует такое натуральное число T, что
начиная с некоторого n, выполняется равенство yn= yn+T .
Число T называется длиной периода.
Пример. Последовательность
периодична
с длиной периода T = 2.
Что такое арифметическая прогрессия?
Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность
вида a1,a1+d,a1+2d,...,a1+nd,...,
то есть это последовательность чисел, каждое из которых,
начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного
числа d (разности арифметической прогрессии): an=an−1+d.
Конечный отрезок такой последовательности называется
конечной арифметической прогрессией, или просто арифметической прогрессией.
Для любой пары идущих подряд членов последовательности ak и
ak+1 их разность равна одному и тому же числу: ak+1−ak=d.
Например, последовательность 4,6,8,10,12 является
арифметической прогрессией с разностью 2. Это возрастающая арифметическая
прогрессия.
Последовательность 3,2,1,0,−1 является арифметической
прогрессией с разностью −1. Это убывающая арифметическая прогрессия.
Примеры арифметической прогрессии
Пример 1. Найти сороковой член арифметической прогрессии
4;7;...
Решение:
Согласно условию имеем
Определим шаг прогрессии
По известной формуле находим сороковой член прогрессии
: 



Пример 2. Арифметическая прогрессия задана третьим и
седьмым ее членом . Найти первый член
прогрессии и сумму десяти.
Решение:
Распишем заданные элементы прогрессии по формулам

От второго уравнения вычтем первое, в результате найдем
шаг прогрессии

Найденное значение подставляем в любое из уравнений для
отыскания первого члена арифметической прогрессии

Вычисляем сумму первых десяти членов прогрессии

Что такое геометрическая прогрессия?
Геометрическая прогрессия - числовая
последовательность задаваемая двумя параметрами b, q (q
≠ 0) и законом
,
, 
Число
называют знаменателем данной
геометрической прогрессии.
- Если q
> 0 все члены геометрической прогрессии имеют один и тот же
знак, совпадающий со знаком числа b.
- Если q
< 0 знаки членов геометрической прогрессии чередуются.
- В
случае -1 < q < 1 прогрессию называют бесконечно
убывающей геометрической прогрессией.
Любой член геометрической прогрессии может быть
вычислен по формуле:

Формула знаменателя геометрической прогрессии:

Формула суммы n-первых членов геометрической прогрессии


где, q ≠ 1
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия —
это прогрессия, у которой |q| < 1. Для неё определяется понятие суммы членов
бесконечно убывающей геометрической прогрессии как число, к которому
неограниченно приближается сумма
первых
членов рассматриваемой прогрессии при неограниченном возрастании числа
.
Формула суммы членов бесконечно убывающей геометрической
прогрессии:

где, q
≠ 1
Пример 1. Задана геометрическая прогрессия 2,6,18,... Найти десятый
член прогрессии и сумму её двенадцати первых членов.

Комментариев нет:
Отправить комментарий